値が連続的なときは、和を積分に、確率を確率密度 $f(x)$ に置き換えて $E[X] = \int x \, f(x) \, dx$ とする。

性質

• 線形性：定数 $a$・$b$ と確率変数 $Y$ について $E[aX + b] = a E[X] + b$、$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$
• 起きたら 1、起きなければ 0 をとる変数の期待値は、その事象が起きる確率に等しい
• 独立な積：$X_i$ と $X_j$（$i \ne j$）がなら 。証明は下記
• ベクトル：確率変数を並べたベクトル $\boldsymbol{X} = (X_1, \dots, X_k)^T$ の期待値は、成分ごとの期待値を並べたベクトル

独立な確率変数の積の期待値

示すこと

$X_i$ と $X_j$（$i \ne j$）が独立なら、積の期待値は期待値の積に分かれる。

成り立つのに必要なのは独立だけで、同じ分布である必要はない。$i = j$ のときは独立でないので一般には成り立たない（$E[X^2] \ne E[X]^2$ で、その差が分散）。

証明

値がとびとびの場合を示す。$X_i$ のとる値を $x$、$X_j$ のとる値を $y$ とする。積 $X_i X_j$ は値 $xy$ を「$X_i = x$ かつ $X_j = y$」の確率でとるので、期待値の定義から

独立の定義 $P(X_i = x, X_j = y) = P(X_i = x) \, P(X_j = y)$ を (1) に入れると

(2) の各項は「$x$ だけに関係する部分 $x \, P(X_i = x)$」と「$y$ だけに関係する部分 $y \, P(X_j = y)$」の積なので、和を 2 つに分けられる。

(3) の 2 つのかっこは、それぞれ $E[X_i]$ と $E[X_j]$ の定義そのものなので

値が連続的な場合も、和を積分に置き換えて同じ手順で示せる。

例

サイコロの目は 1〜6 が確率 $1/6$ ずつなので、$E[X] = (1 + 2 + \cdots + 6) \times \frac{1}{6} = 3.5$。サイコロを 2 回振ったときの目を $X_1$・$X_2$ とすると、2 回は独立なので $E[X_1 X_2] = 3.5 \times 3.5 = 12.25$。